Wurzelrechner

Ein Wurzelrechner bestimmt Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und beliebige n-te Wurzeln. Neben einer Dezimalzahl kann er ein exaktes Ergebnis, einen vereinfachten Wurzelausdruck und den Rechenweg anzeigen.

Wurzeln sind Umkehrungen von Potenzen. Gesucht wird eine Zahl, die bei einer bestimmten Potenz den vorgegebenen Radikanden ergibt.

Was ist eine Wurzel?

Die n-te Wurzel aus x ist eine Zahl y mit:

yⁿ = x

Schreibweise:

y = ⁿ√x

• x ist der Radikand.
• n ist der Wurzelgrad.
• y ist der Wurzelwert.

Quadratwurzel

Bei der Quadratwurzel ist der Wurzelgrad 2. Die kleine 2 wird nicht geschrieben:

√x = x^1/2

• √1 = 1
• √4 = 2
• √9 = 3
• √16 = 4
• √25 = 5

Warum ist √9 gleich 3 und nicht ±3?

Das Symbol √9 bezeichnet die nichtnegative Hauptwurzel. Deshalb ist √9 = 3. Die Gleichung x² = 9 besitzt dagegen zwei Lösungen: x = 3 und x = −3. Man schreibt daher x = ±√9.

Kubikwurzel

Die Kubikwurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz:

∛x = x^1/3

• ∛8 = 2
• ∛27 = 3
• ∛64 = 4
• ∛125 = 5

n-te Wurzel

Für einen beliebigen positiven Wurzelgrad n gilt:

ⁿ√x = x^1/n

• ⁴√16 = 2
• ⁵√32 = 2
• ⁶√64 = 2
• ¹⁰√1024 = 2

Wurzeln als Potenzen

Für positive x und einen positiven Wurzelgrad n gilt:

ⁿ√(xᵐ) = xᵐ⁄ⁿ

Bei negativen Zahlen und geraden Wurzelgraden muss der Definitionsbereich gesondert geprüft werden.

Definitionsbereich reeller Wurzeln

Bei geradem Wurzelgrad muss der Radikand mindestens null sein. Daher ist √16 reell, √0 ebenfalls reell, √−16 dagegen nicht.

Bei ungeradem Wurzelgrad sind auch negative Radikanden erlaubt. Beispielsweise gilt ∛−27 = −3 und ⁵√−32 = −2.

• gerader Wurzelgrad: Radikand x ≥ 0
• ungerader Wurzelgrad: alle reellen Radikanden erlaubt
• Wurzelgrad n muss eine positive ganze Zahl sein

Warum gilt √(x²) = |x|?

Die Quadratwurzel liefert immer die nichtnegative Hauptwurzel. Deshalb gilt nicht allgemein √(x²) = x, sondern:

√(x²) = |x|

Für x = −5 ergibt sich √((-5)²) = √25 = 5. Der Betrag verhindert, dass eine negative Hauptwurzel entsteht.

Perfekte Quadratzahlen

Perfekte Kubikzahlen

Irrationale Wurzeln

Nicht jede Wurzel ergibt eine ganze oder rationale Zahl. Beispiele sind √2 ≈ 1,41421356, √3 ≈ 1,73205081 und √5 ≈ 2,23606798. Diese Dezimaldarstellungen enden nicht und wiederholen sich nicht periodisch. Ein Rechner zeigt deshalb nur eine Näherung.

Wurzel näherungsweise einordnen

Für √20 betrachtet man benachbarte Quadratzahlen: 4² = 16 und 5² = 25. Daher gilt 4 < √20 < 5. Genauer ist √20 ≈ 4,4721.

Wurzeln vereinfachen

Eine Wurzel wird vereinfacht, indem vollständige Quadrate oder höhere Potenzen aus dem Radikanden herausgezogen werden.

Beispiel:

√72 = √(36 × 2) = 6√2

Weiteres Beispiel:

√200 = √(100 × 2) = 10√2

Kubikwurzeln vereinfachen

∛54 = ∛(27 × 2) = 3∛2

Produktregel

√(ab) = √a × √b für a ≥ 0 und b ≥ 0

Beispiel: √(9 × 5) = √9 × √5 = 3√5.

Quotientenregel

√(a/b) = √a / √b für a ≥ 0 und b > 0

Beispiel: √(25/4) = 5/2 = 2,5.

Wurzelausdrücke vollständig vereinfachen

Beim Vereinfachen wird der Radikand in Faktoren zerlegt. Vollständige Quadrate werden vor die Quadratwurzel gezogen.

Beispiel: √180 = √(36 × 5) = 6√5.

Danach sollte geprüft werden, ob gleichartige Wurzeln zusammengefasst oder Brüche noch gekürzt werden können.

Wurzeln addieren und subtrahieren

Nur gleichartige Wurzeln lassen sich direkt zusammenfassen. 3√2 + 5√2 = 8√2. Dagegen lässt sich √2 + √3 nicht vereinfachen.

Wurzeln multiplizieren und dividieren

√3 × √12 = √36 = 6

√48 ÷ √3 = √16 = 4

Wurzel im Nenner rationalisieren

Bei 1/√2 werden Zähler und Nenner mit √2 multipliziert. Das Ergebnis lautet √2/2.

Negative Zahlen unter der Wurzel

Gerade Wurzeln negativer Zahlen sind im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. √−9 ist daher keine reelle Zahl.

Ungerade Wurzeln negativer Zahlen sind dagegen reell:

• ∛−8 = −2
• ⁵√−32 = −2
• ⁷√−128 = −2

Komplexe Zahlen

Im Bereich der komplexen Zahlen gilt √−1 = i. Deshalb ist die Hauptwurzel √−9 = 3i. Eine komplexe Zahl kann je nach Wurzelgrad mehrere verschiedene Wurzeln besitzen.

Wurzeln von Brüchen

√(9/16) = √9 ÷ √16 = 3/4

Wurzeln von Dezimalzahlen

√0,25 = 0,5, denn 0,5² = 0,25.

Verschachtelte Wurzeln

Bei verschachtelten Wurzeln werden Potenzregeln verwendet. Für nichtnegative x gilt beispielsweise:

√(√x) = ⁴√x = x^1/4

Beispiel: √(√81) = √9 = 3. Bei negativen Radikanden müssen Definitionsbereich und Wurzelgrad erneut geprüft werden.

Wurzelgleichungen lösen

Beispiel: √x = 7. Beide Seiten werden quadriert, daraus folgt x = 49.

Bei √(x + 4) = 6 gilt nach dem Quadrieren x + 4 = 36 und damit x = 32.

Scheinlösungen prüfen

Beim Quadrieren können zusätzliche Lösungen entstehen. Deshalb muss jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden. Die Gleichung √x = −3 besitzt im reellen Bereich keine Lösung, obwohl Quadrieren formal x = 9 ergeben würde.

Wurzeln vergleichen

Positive Wurzeln können verglichen werden, indem ihre Radikanden verglichen werden. Aus 12 < 20 folgt √12 < √20.

Bei Ausdrücken wie 3√2 und 2√5 kann man beide positiven Seiten quadrieren: (3√2)² = 18 und (2√5)² = 20. Daher ist 3√2 < 2√5.

Schrittfolge beim Wurzelziehen

Zuerst wird geprüft, ob der Radikand eine perfekte Potenz ist. Danach wird der Definitionsbereich kontrolliert und der Ausdruck gegebenenfalls faktorisiert.

Lässt sich kein exaktes Ergebnis finden, kann die Wurzel zwischen benachbarten Potenzen eingeordnet und anschließend numerisch angenähert werden.

• Wurzelgrad und Radikand bestimmen
• Definitionsbereich prüfen
• perfekte Potenzen erkennen
• Wurzelausdruck vereinfachen
• erst am Ende runden

Newton- oder Heron-Verfahren

Eine bekannte Näherungsmethode für √a lautet:

x_neu = 1/2 × (x_alt + a/x_alt)

Für √10 beginnt man zum Beispiel mit x₀ = 3. Daraus folgt x₁ ≈ 3,1667 und danach x₂ ≈ 3,1623. Das Verfahren nähert sich schnell √10 ≈ 3,16227766.

n-te Wurzel mit Newton

Für ⁿ√a gilt:

x_neu = 1/n × ((n − 1)x_alt + a/x_altⁿ⁻¹)

Genauigkeit einer Dezimalnäherung

Irrationale Wurzeln besitzen unendlich viele nichtperiodische Dezimalstellen. Ein Rechner speichert und zeigt daher nur eine Näherung.

Wird √2 mit 1,414 angegeben, ist das Ergebnis auf drei Dezimalstellen gerundet. Für weitere Rechnungen sollte intern mit mehr Stellen weitergerechnet und erst am Ende gerundet werden.

Wurzeln in der Geometrie

Bei einem Quadrat ist die Seitenlänge die Quadratwurzel der Fläche. Hat ein Quadrat 81 cm² Fläche, beträgt die Seitenlänge √81 = 9 cm.

Satz des Pythagoras

c = √(a² + b²)

Für a = 3 und b = 4 ergibt sich c = √25 = 5.

Kubikwurzel und Volumen

Für einen Würfel gilt: Kantenlänge = ∛Volumen. Bei 216 cm³ ist die Kantenlänge ∛216 = 6 cm.

Wurzeln in Physik und Technik

Wurzeln treten in Geschwindigkeitsformeln, Schwingungen, Elektrotechnik, Mechanik, Statistik und Fehlerrechnung auf.

Quadratischer Mittelwert

RMS = √((x₁² + x₂² + … + xₙ²)/n)

Der RMS-Wert wird beispielsweise in der Signalverarbeitung und Elektrotechnik verwendet.

Standardabweichung

Auch bei der Standardabweichung wird eine Quadratwurzel gezogen, weil zunächst quadrierte Abweichungen gemittelt werden.

Wissenschaftliche Schreibweise

√(9 × 10⁶) = √9 × √10⁶ = 3 × 10³ = 3000.

Rundung

Irrationale Ergebnisse müssen gerundet werden. √7 ≈ 2,64575131. Auf zwei Dezimalstellen ergibt das 2,65, auf drei Dezimalstellen 2,646.

Exaktes Ergebnis oder Dezimalwert?

Ein Ausdruck wie 6√2 ist exakt, während 8,4853 nur eine gerundete Dezimalnäherung darstellt. In Algebra und Geometrie ist die exakte Form oft vorzuziehen, weil sie keine Rundungsfehler enthält.

Für praktische Anwendungen kann zusätzlich ein Dezimalwert angegeben werden. Ein guter Rechner zeigt daher beide Formen nebeneinander.

Ergebnis überprüfen

Eine Wurzel wird durch Potenzieren geprüft. Wenn √49 = 7, muss 7² = 49 gelten.

Plausibilitätsprüfung

Vor dem Akzeptieren eines Ergebnisses sollte seine Größenordnung geprüft werden. Da 7² = 49 und 8² = 64 gilt, muss √50 knapp über 7 liegen.

Auch das Zurückpotenzieren ist hilfreich: Ergibt ein Rechner für ∛125 den Wert 5, bestätigt 5³ = 125 das Resultat.

Typische Fehler

• √(a + b) mit √a + √b gleichsetzen
• Hauptwurzel und Gleichungslösungen verwechseln
• negative Radikanden bei geradem Wurzelgrad ignorieren
• nicht gleichartige Wurzeln addieren
• Scheinlösungen nicht prüfen
• zu früh runden

Wichtiger Gegenbeweis

Im Allgemeinen gilt nicht √(a + b) = √a + √b. Denn √(9 + 16) = 5, während √9 + √16 = 7.

Was ein guter Wurzelrechner anzeigen sollte

• Radikand
• Wurzelgrad
• exaktes Ergebnis
• Dezimalnäherung
• vereinfachten Ausdruck
• Potenzschreibweise
• reelle oder komplexe Lösung
• einstellbare Dezimalstellen
• vollständigen Rechenweg

Formeln im Überblick

Beispiele auf einen Blick

Fazit

Ein Wurzelrechner bestimmt Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und beliebige n-te Wurzeln. Die allgemeine Beziehung lautet ⁿ√x = x^1/n.

Gerade Wurzeln negativer Zahlen sind im reellen Bereich nicht definiert, während ungerade Wurzeln negativer Zahlen reell bleiben. Irrationale Ergebnisse werden als Dezimalnäherung dargestellt.

Für Schule und Studium sollte ein Rechner nicht nur das Ergebnis, sondern auch Vereinfachung, Potenzschreibweise und Rechenweg anzeigen.

Häufige Fragen zum Wurzelrechner

Wie berechnet man eine Quadratwurzel?

Gesucht wird die nichtnegative Zahl, deren Quadrat dem Radikanden entspricht.

Wie berechnet man eine Kubikwurzel?

Gesucht wird die Zahl, deren dritte Potenz den Radikanden ergibt.

Wie lautet die n-te Wurzel als Potenz?

Für passende Werte gilt ⁿ√x = x hoch ein n-tel.

Warum ist √9 nicht ±3?

Das Wurzelzeichen bezeichnet die nichtnegative Hauptwurzel. Die Gleichung x² = 9 hat dagegen zwei Lösungen.

Kann man eine negative Zahl unter der Wurzel berechnen?

Ungerade Wurzeln negativer Zahlen sind reell; gerade Wurzeln sind im reellen Bereich nicht definiert.

Wie vereinfacht man √72?

√72 wird als √(36 × 2) zerlegt und ergibt 6√2.

Warum gilt √(x²) = |x|?

Weil die Quadratwurzel immer nichtnegativ ist.

Wie kann man eine Wurzel näherungsweise berechnen?

Zum Beispiel mit dem Heron- beziehungsweise Newton-Verfahren.