Verhältnis kürzen – Verhältnis-Rechner online

Ein Verhältnis-Rechner vereinfacht zwei oder mehrere Zahlen, ohne ihre Beziehung zu verändern. Aus 12:18 wird beispielsweise 2:3. Die gekürzte Form ist leichter zu lesen, zu vergleichen und für weitere Berechnungen zu verwenden.

Verhältnisse kommen in Rezepten, Mischungen, Kartenmaßstäben, Bildformaten, Bauplänen, Statistiken und Kostenaufteilungen vor. Ein Rechner hilft besonders bei großen Zahlen, Dezimalwerten oder mehreren Komponenten. Die mathematische Grundlage ist meist der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT.

Was ist ein Verhältnis?

Ein Verhältnis vergleicht zwei oder mehrere Größen miteinander. Die Schreibweise lautet häufig:

a:b

Das Verhältnis 2:3 bedeutet, dass auf zwei Teile der ersten Größe drei Teile der zweiten Größe kommen. Die tatsächliche Größe eines Teils ist zunächst nicht festgelegt.

Werden beispielsweise zwei Liter blaue Farbe mit drei Litern weißer Farbe gemischt, lautet das Verhältnis Blau zu Weiß 2:3. Werden stattdessen vier Liter Blau und sechs Liter Weiß verwendet, bleibt das Verhältnis gleich, weil 4:6 ebenfalls zu 2:3 gekürzt werden kann.

Wie kürzt man ein Verhältnis?

Alle Zahlen werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt.

Vereinfachtes Verhältnis = a / ggT : b / ggT

Beispiel: 12:18

Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18 ist 6.

12 / 6 = 2

18 / 6 = 3

12:18 = 2:3

Da 2 und 3 keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 besitzen, ist das Verhältnis vollständig gekürzt.

Warum der größte gemeinsame Teiler wichtig ist

Ein Verhältnis kann schrittweise gekürzt werden, doch mit dem ggT gelangt man sofort zur kleinsten ganzzahligen Form.

Beispiel:

36:60

Durch 2 geteilt:

18:30

Durch 6 geteilt:

3:5

Der ggT von 36 und 60 ist 12. Direkt gerechnet:

36 / 12 = 3

60 / 12 = 5

Das Ergebnis ist ebenfalls 3:5.

Verhältnis mit drei oder mehr Zahlen kürzen

Das Prinzip gilt auch für Mehrfachverhältnisse. Dafür wird der größte gemeinsame Teiler aller Werte bestimmt.

Beispiel: 24:36:60

Der gemeinsame größte Teiler ist 12.

24 / 12 = 2

36 / 12 = 3

60 / 12 = 5

24:36:60 = 2:3:5

Mehrfachverhältnisse werden unter anderem für Farbmischungen, Legierungen, Rezepte und Materialzusammensetzungen verwendet.

Den ggT durch Auflisten der Teiler bestimmen

Bei kleinen Zahlen können die Teiler aufgeschrieben werden.

Teiler von 20:

1, 2, 4, 5, 10, 20

Teiler von 30:

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Der größte gemeinsame Teiler ist 10.

20:30 = 2:3

Euklidischer Algorithmus

Bei größeren Zahlen ist der euklidische Algorithmus effizienter. Dabei werden wiederholt Divisionen mit Rest durchgeführt.

Beispiel: 252 und 105

252 = 2 × 105 + 42

105 = 2 × 42 + 21

42 = 2 × 21 + 0

Der letzte von null verschiedene Rest ist 21. Daher gilt:

252 / 21 = 12

105 / 21 = 5

252:105 = 12:5

Dezimalzahlen als Verhältnis vereinfachen

Bei Dezimalzahlen werden zunächst alle Nachkommastellen entfernt. Dafür multipliziert man alle Werte mit derselben Zehnerpotenz.

Beispiel: 1,5:2,5

Beide Werte werden mit 10 multipliziert:

15:25

Der ggT ist 5:

15:25 = 3:5

Unterschiedlich viele Nachkommastellen

Besitzen die Zahlen unterschiedlich viele Nachkommastellen, wird die größte benötigte Zehnerpotenz verwendet.

Beispiel: 0,75:1,2

Beide Werte werden mit 100 multipliziert:

75:120

Der ggT ist 15:

75:120 = 5:8

Wichtig ist, nicht nur einen der Werte zu verändern. Sonst würde sich die Beziehung ändern.

Verhältnisse mit Brüchen

Enthält ein Verhältnis Brüche, werden zunächst die Nenner entfernt. Dazu eignet sich das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

Beispiel: 1/2 : 3/4

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 4 ist 4.

1/2 × 4 = 2

3/4 × 4 = 3

1/2 : 3/4 = 2:3

Verhältnis und Bruch unterscheiden

Das Verhältnis a:b kann als Bruch a/b geschrieben werden. Trotzdem beschreiben Verhältnis und Anteil nicht immer dieselbe Aussage.

Beispiel: In einer Gruppe gibt es zwei rote und drei blaue Kugeln.

• Verhältnis Rot zu Blau: 2:3;
• Anteil Rot an allen Kugeln: 2/5;
• Anteil Blau an allen Kugeln: 3/5.

Diese Unterscheidung ist bei Textaufgaben besonders wichtig.

Gleichwertige Verhältnisse prüfen

Zwei Verhältnisse sind gleichwertig, wenn sie auf dieselbe gekürzte Form gebracht werden können.

2:3 = 4:6 = 8:12 = 10:15

Alternativ kann das Kreuzprodukt verwendet werden:

a:b = c:d, wenn a × d = b × c

Beispiel: 2:3 und 8:12

2 × 12 = 24

3 × 8 = 24

Die Kreuzprodukte sind gleich. Beide Verhältnisse sind äquivalent.

Verhältnis auf eine Gesamtmenge verteilen

Ein Verhältnis kann verwendet werden, um eine Gesamtmenge aufzuteilen.

Beispiel: 3:5 bei einer Gesamtmenge von 64

Summe der Teile:

3 + 5 = 8

Wert eines Teils:

64 / 8 = 8

Erste Menge:

3 × 8 = 24

Zweite Menge:

5 × 8 = 40

Die Gesamtmenge wird in 24 und 40 aufgeteilt.

Eine fehlende Verhältnisgröße berechnen

Ist ein gleichwertiges Verhältnis teilweise bekannt, kann die fehlende Zahl mit einer Verhältnisgleichung bestimmt werden.

Beispiel:

2:5 = 8:x

Kreuzmultiplikation:

2 × x = 5 × 8

2x = 40

x = 20

Damit gilt 2:5 = 8:20.

Rezepte skalieren

Ein Getränk wird im Verhältnis 1:4 aus Sirup und Wasser gemischt. Benötigt werden insgesamt 750 ml.

Gesamtzahl der Teile:

1 + 4 = 5

Ein Teil:

750 / 5 = 150 ml

Benötigt werden:

• 150 ml Sirup;
• 600 ml Wasser.

Wird die Gesamtmenge verändert, bleibt die Mischung gleich, solange alle Teile mit demselben Faktor skaliert werden.

Mischungsverhältnisse im Handwerk

Farben, Mörtel, Reinigungsmittel oder andere Materialien werden häufig in festen Verhältnissen gemischt.

Beispiel: Zement zu Sand = 1:4, Gesamtmenge 25 kg.

Fünf Teile entsprechen 25 kg. Ein Teil sind 5 kg.

• Zement: 5 kg;
• Sand: 20 kg.

Bei chemischen, baulichen oder sicherheitsrelevanten Produkten gelten immer zusätzlich die Herstellerangaben.

Maßstab auf Karten und Plänen

Ein Maßstab ist ebenfalls ein Verhältnis. 1:50.000 bedeutet, dass eine Einheit auf der Karte 50.000 derselben Einheiten in der Realität entspricht.

1 cm auf der Karte:

50.000 cm = 500 m

Bei 3,4 cm Kartenstrecke:

3,4 × 500 = 1.700 m

Die reale Strecke beträgt 1,7 km.

Bildformate und Seitenverhältnisse

Auflösungen von Bildschirmen, Fotos und Videos lassen sich durch Kürzen auf ein Seitenverhältnis bringen.

Beispiel: 1920 × 1080 Pixel

Der ggT von 1920 und 1080 ist 120.

1920 / 120 = 16

1080 / 120 = 9

Das Seitenverhältnis lautet 16:9.

Weitere verbreitete Formate sind 4:3, 3:2 und 21:9.

Kosten nach einem Verhältnis aufteilen

Drei Personen teilen Kosten im Verhältnis 2:3:5. Der Gesamtbetrag beträgt 400 Euro.

Summe der Teile:

2 + 3 + 5 = 10

Ein Teil:

400 / 10 = 40 Euro

Aufteilung:

• Person 1: 2 × 40 = 80 Euro;
• Person 2: 3 × 40 = 120 Euro;
• Person 3: 5 × 40 = 200 Euro.

Verhältnisse in Statistik

In einer Stichprobe erfüllen 40 Personen ein Merkmal, 60 Personen nicht.

Verhältnis:

40:60 = 2:3

Anteil an der Gesamtgruppe:

40 / 100 = 40 Prozent

Das Verhältnis 2:3 und der Anteil 40 Prozent beschreiben dieselben Ausgangsdaten aus unterschiedlichen Blickwinkeln.

Negative Werte

In vielen praktischen Anwendungen werden nur positive Größen verwendet. Mathematisch können auch negative Werte vorkommen.

-6:9 wird durch 3 geteilt:

-6:9 = -2:3

Bei zwei negativen Zahlen kann das gemeinsame Minuszeichen entfernt werden:

-8:-12 = 8:12 = 2:3

Verhältnisse mit null

Null muss besonders behandelt werden.

• 0:5 kann zu 0:1 vereinfacht werden;
• 5:0 kann als Verhältnis geschrieben werden, aber nicht als gewöhnlicher Bruch ausgewertet werden;
• 0:0 ist unbestimmt.

Ein guter Rechner sollte bei 0:0 eine Fehlermeldung ausgeben.

Verhältnis in Prozent umrechnen

Bei einem Verhältnis 2:3 beträgt die Summe der Teile 5.

• erster Anteil: 2/5 = 40 Prozent;
• zweiter Anteil: 3/5 = 60 Prozent.

Bei einem Mehrfachverhältnis 2:3:5 ergibt die Summe 10. Die Anteile sind 20, 30 und 50 Prozent.

Verhältnis vergrößern

Ein gekürztes Verhältnis kann auf einen gewünschten Wert skaliert werden.

Beispiel: 3:4 soll so vergrößert werden, dass der erste Wert 21 beträgt.

Skalierungsfaktor:

21 / 3 = 7

Zweiter Wert:

4 × 7 = 28

Das skalierte Verhältnis lautet 21:28.

Typische Fehler beim Kürzen

• Nicht alle Werte werden durch denselben Faktor geteilt.
• Es wird gekürzt, obwohl Dezimalstellen noch nicht entfernt wurden.
• Ein Verhältnis wird mit einem Anteil verwechselt.
• Bei Brüchen werden die Nenner unterschiedlich behandelt.
• 0:0 wird als gültiges Verhältnis ausgegeben.
• Das Verhältnis ist noch weiter kürzbar.
• Beim Skalieren wird nur ein Wert verändert.

Plausibilitätsprüfung

Nach dem Kürzen sollte das Verhältnis denselben Quotienten besitzen.

Für 12:18 gilt:

12 / 18 = 0,666…

Für 2:3 gilt:

2 / 3 = 0,666…

Beide Werte stimmen überein. Damit ist die Kürzung korrekt.

Was ein guter Verhältnis-Rechner anzeigen sollte

• gekürzte Form;
• größten gemeinsamen Teiler;
• Unterstützung für mehrere Werte;
• Dezimalzahlen und Brüche;
• Aufteilung einer Gesamtmenge;
• Prüfung gleichwertiger Verhältnisse;
• Fehlermeldung bei ungültigen Nullwerten;
• nachvollziehbaren Rechenweg.

Methoden im Überblick

Weiterführende Quellen

• Deutsche Mathematiker-Vereinigung
• Wolfram MathWorld – Ratio
• Wolfram MathWorld – Greatest Common Divisor

Fazit

Ein Verhältnis wird vereinfacht, indem alle Werte durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt werden. So wird aus 12:18 die kleinste ganzzahlige Form 2:3.

Auch Dezimalzahlen, Brüche und Mehrfachverhältnisse lassen sich kürzen. Darüber hinaus helfen Verhältnisse bei Mischungen, Rezepten, Maßstäben, Bildformaten, Kostenaufteilungen und statistischen Vergleichen.

Häufige Fragen zum Verhältnis-Rechner

Wie kürzt man ein Verhältnis?

Alle Werte werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt.

Was bedeutet 2:3?

Auf zwei Teile der ersten Größe kommen drei Teile der zweiten Größe.

Kann man Dezimalzahlen kürzen?

Ja. Die Nachkommastellen werden zuerst durch Multiplikation mit derselben Zehnerpotenz entfernt.

Wie vereinfacht man Brüche?

Die Brüche werden mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ihrer Nenner multipliziert.

Wie prüft man gleichwertige Verhältnisse?

Durch Kürzen auf dieselbe Form oder durch Vergleich der Kreuzprodukte.

Kann ein Verhältnis mehr als zwei Werte enthalten?

Ja. Der ggT wird dann für alle Werte bestimmt.

Was bedeutet 0:0?

Das Verhältnis 0:0 ist unbestimmt.

Wie teilt man eine Gesamtmenge nach einem Verhältnis auf?

Die Gesamtmenge wird durch die Summe der Verhältnisanteile geteilt.