Gemeinsame-Faktoren-Rechner – Teiler und GGT bestimmen
Gemeinsame Teiler tauchen in vielen Rechenaufgaben auf: beim Kürzen von Brüchen, beim Aufteilen von Mengen oder beim Zerlegen einer Fläche in gleich große Abschnitte. Ein GGT-Rechner bestimmt, welche Zahlen mehrere ganze Zahlen ohne Rest teilen. Zusätzlich zeigt er den größten gemeinsamen Teiler und, je nach Ausführung, die Primfaktorzerlegung oder den Rechenweg des Euklidischen Algorithmus.
Die Begriffe Faktor und Teiler werden in diesem Zusammenhang häufig gleich verwendet. Ist 6 ein Teiler von 24, dann ist 6 zugleich ein Faktor von 24, denn 24 lässt sich als 6 × 4 schreiben.
Merksatz: Gemeinsame Teiler sind genau die Zahlen, die jede der betrachteten Zahlen ohne Rest teilen. Der größte davon heißt größter gemeinsamer Teiler, kurz GGT.
Was ist ein Teiler?
Eine ganze Zahl d ist ein Teiler einer ganzen Zahl n, wenn bei der Division n durch d kein Rest bleibt. In mathematischer Schreibweise wird dies so notiert:
d | n
Das Zeichen bedeutet: „d teilt n“.
Ein einfaches Beispiel ist 24. Die Zahl 6 teilt 24 ohne Rest:
24 / 6 = 4
Zu den positiven Teilern von 24 gehören:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24
Jede positive ganze Zahl besitzt mindestens die Teiler 1 und sich selbst. Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler.
Was sind gemeinsame Teiler?
Um gemeinsame Teiler zu finden, vergleicht man die Teilermengen mehrerer Zahlen. Für 18 und 24 sehen sie so aus:
- Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
In beiden Listen kommen 1, 2, 3 und 6 vor. Das sind die gemeinsamen Teiler.
GGT(18, 24) = 6
Der GGT ist also nicht die Anzahl gemeinsamer Teiler, sondern der größte gemeinsame Wert.
Methode 1: Teilerlisten vergleichen
Bei kleinen Zahlen ist diese Methode besonders anschaulich:
- Alle positiven Teiler der ersten Zahl notieren.
- Die Teiler der zweiten Zahl aufschreiben.
- Werte markieren, die in beiden Listen vorkommen.
- Den größten gemeinsamen Wert auswählen.
Beispiel mit 20 und 30:
Teiler von 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Teiler von 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 5 und 10. Damit gilt:
GGT(20, 30) = 10
Teiler schneller finden
Teiler treten paarweise auf. Bei 36 gehören zum Beispiel 1 und 36, 2 und 18, 3 und 12 sowie 4 und 9 zusammen. Deshalb muss man mögliche Teiler nur bis zur Quadratwurzel der Zahl prüfen.
Für 36 reicht die Prüfung bis 6. Wird dabei 4 als Teiler gefunden, steht automatisch fest, dass auch 36 / 4 = 9 ein Teiler ist.
Diese Vorgehensweise spart bei größeren Zahlen viele unnötige Tests.
Methode 2: Primfaktorzerlegung
Bei der Primfaktorzerlegung wird eine Zahl als Produkt von Primzahlen geschrieben. Für 60 gilt beispielsweise:
60 = 2² × 3 × 5
Um den GGT mehrerer Zahlen zu bestimmen, werden nur die Primfaktoren verwendet, die in allen Zerlegungen vorkommen. Für jeden gemeinsamen Primfaktor nimmt man den kleinsten Exponenten.
Beispiel mit 84 und 126
Die Zerlegungen lauten:
84 = 2² × 3 × 7
126 = 2 × 3² × 7
Gemeinsam sind 2, 3 und 7. Der jeweils kleinste Exponent ist 1:
2 × 3 × 7 = 42
GGT(84, 126) = 42
Eine nützliche Folgerung daraus lautet: Alle gemeinsamen positiven Teiler mehrerer Zahlen sind genau die positiven Teiler ihres GGT. Da der GGT hier 42 ist, lauten die gemeinsamen Teiler:
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 und 42
Methode 3: Euklidischer Algorithmus
Der Euklidische Algorithmus ist besonders effizient. Er benötigt weder vollständige Teilerlisten noch eine Primfaktorzerlegung.
Die Grundregel lautet:
GGT(a, b) = GGT(b, a mod b)
mod bezeichnet den Rest einer Division.
Beispiel mit 252 und 105
252 = 2 × 105 + 42
105 = 2 × 42 + 21
42 = 2 × 21 + 0
Sobald der Rest 0 ist, endet das Verfahren. Der letzte von 0 verschiedene Rest ist der GGT.
GGT(252, 105) = 21
Der Algorithmus funktioniert, weil a und b dieselben gemeinsamen Teiler besitzen wie b und der Rest aus a mod b. Das Zahlenpaar kann daher schrittweise durch kleinere Zahlen ersetzt werden, ohne dass sich der GGT ändert.
GGT von mehr als zwei Zahlen
Auch drei oder mehr Zahlen lassen sich verarbeiten. Der GGT wird dabei schrittweise gebildet:
GGT(a, b, c) = GGT(GGT(a, b), c)
Für 48, 72 und 120 gilt:
GGT(48, 72) = 24
GGT(24, 120) = 24
Damit ist:
GGT(48, 72, 120) = 24
Die gemeinsamen Teiler sind folglich alle positiven Teiler von 24:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24
Beispiele im Überblick
| Zahlen | Gemeinsame Teiler | GGT |
|---|---|---|
| 8 und 12 | 1, 2, 4 | 4 |
| 15 und 25 | 1, 5 | 5 |
| 18 und 24 | 1, 2, 3, 6 | 6 |
| 20 und 30 | 1, 2, 5, 10 | 10 |
| 27 und 36 | 1, 3, 9 | 9 |
| 42 und 56 | 1, 2, 7, 14 | 14 |
| 84 und 126 | 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 | 42 |
Was bedeutet teilerfremd?
Zwei Zahlen heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist. Die Zahlen 8 und 15 sind ein Beispiel:
- Teiler von 8: 1, 2, 4, 8
- Teiler von 15: 1, 3, 5, 15
Der einzige gemeinsame positive Teiler ist 1.
GGT(8, 15) = 1
Teilerfremde Zahlen müssen nicht selbst Primzahlen sein. Entscheidend ist nur, dass sie keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 besitzen.
Brüche mit dem GGT kürzen
Eine der häufigsten Anwendungen ist das vollständige Kürzen von Brüchen. Zähler und Nenner werden durch ihren GGT geteilt.
Beispiel:
42/56
GGT(42, 56) = 14
42 / 14 = 3
56 / 14 = 4
42/56 = 3/4
Nach dem Kürzen durch den GGT besitzen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr.
Gemeinsame Faktoren in algebraischen Termen
Das Prinzip lässt sich auch auf Variablen übertragen. Beim Ausdruck
12x² + 18x
ist 6 der größte gemeinsame Zahlenfaktor. Beide Terme enthalten außerdem x. Deshalb kann ausgeklammert werden:
12x² + 18x = 6x(2x + 3)
Solches Ausklammern vereinfacht Gleichungen, Brüche und weitere algebraische Umformungen.
Gleich große Gruppen bilden
Der GGT zeigt, wie viele gleich aufgebaute Gruppen aus mehreren Mengen gebildet werden können.
Angenommen, es gibt 36 rote und 48 blaue Gegenstände. Alle sollen auf möglichst viele identische Gruppen verteilt werden, ohne dass etwas übrig bleibt.
GGT(36, 48) = 12
Es lassen sich also 12 Gruppen bilden. Jede enthält:
- 36 / 12 = 3 rote Gegenstände;
- 48 / 12 = 4 blaue Gegenstände.
Flächen in gleich große Quadrate zerlegen
Eine rechteckige Fläche von 84 cm × 126 cm soll mit möglichst großen quadratischen Fliesen ohne Zuschnitt bedeckt werden. Die größte mögliche Seitenlänge entspricht dem GGT:
GGT(84, 126) = 42 cm
In eine Richtung werden 84 / 42 = 2 Fliesen benötigt, in die andere 126 / 42 = 3. Insgesamt sind es 6 Fliesen.
Zusammenhang zwischen GGT und KGV
Für zwei positive ganze Zahlen gilt:
GGT(a, b) × KGV(a, b) = a × b
Daraus folgt:
KGV(a, b) = a × b / GGT(a, b)
Für 12 und 18 ist der GGT 6. Das kleinste gemeinsame Vielfache ergibt sich zu:
12 × 18 / 6 = 36
Der GGT hilft beim Teilen und Vereinfachen. Das KGV wird eher für gemeinsame Nenner, wiederkehrende Zeitpunkte oder periodische Abläufe benötigt.
Negative Zahlen und null
Bei negativen Eingaben wird üblicherweise mit den Beträgen gerechnet:
GGT(−24, 36) = GGT(24, 36) = 12
Der GGT wird als nichtnegative Zahl angegeben.
Für eine ganze Zahl a gilt außerdem:
GGT(a, 0) = |a|
Für GGT(0, 0) verwenden Rechner unterschiedliche Konventionen. Manche geben 0 aus, andere kennzeichnen den Ausdruck als nicht definiert. Die verwendete Regel sollte deshalb sichtbar erklärt werden.
Dezimalzahlen
Der klassische GGT ist für ganze Zahlen definiert. Dezimalzahlen müssen zunächst auf eine gemeinsame ganzzahlige Skalierung gebracht werden.
Bei 1,2 und 1,8 werden beide Werte mit 10 multipliziert:
12 und 18
GGT(12, 18) = 6
Zur ursprünglichen Skalierung zurückgerechnet entspricht dies 0,6.
Bei unterschiedlich vielen Nachkommastellen müssen alle Zahlen mit derselben Zehnerpotenz multipliziert werden.
Welches Verfahren eignet sich wann?
| Methode | Vorteil | Geeignet für |
|---|---|---|
| Teilerlisten | leicht nachvollziehbar | kleine Zahlen und Unterricht |
| Primfaktorzerlegung | zeigt die Struktur der Zahlen | mittlere Zahlen und mehrere Aufgaben |
| Euklidischer Algorithmus | schnell und effizient | große Zahlen und Software |
Für einen Rechner ist der Euklidische Algorithmus meist die beste Grundlage. Sollen zusätzlich alle gemeinsamen Teiler angezeigt werden, können anschließend die Teiler des berechneten GGT bestimmt werden.
Typische Fehler
- Vielfache werden mit Teilern verwechselt.
- Es werden nicht alle Teilerpaare berücksichtigt.
- GGT und KGV werden vertauscht.
- Bei der Primfaktorzerlegung wird der größte statt der kleinste Exponent gewählt.
- Bei mehreren Eingaben werden nur die ersten beiden Zahlen berücksichtigt.
- Der Faktor 1 wird vergessen.
- Negative Vorzeichen werden unnötig in das Ergebnis übernommen.
- Dezimalzahlen werden ohne gemeinsame Skalierung verarbeitet.
Plausibilitätsprüfung
Ein berechneter GGT muss jede Eingabezahl ohne Rest teilen. Außerdem darf er nicht größer sein als der Betrag der kleinsten von 0 verschiedenen Zahl.
Bei zwei positiven Zahlen lässt sich zusätzlich prüfen, ob gilt:
GGT × KGV = Produkt der beiden Zahlen
Eine weitere einfache Kontrolle besteht darin, die Eingaben durch den GGT zu teilen. Alle Ergebnisse müssen ganze Zahlen sein.
Formeln im Überblick
| Berechnung | Formel oder Regel |
|---|---|
| Euklidischer Schritt | GGT(a, b) = GGT(b, a mod b) |
| Mehrere Zahlen | GGT(a, b, c) = GGT(GGT(a, b), c) |
| KGV aus GGT | KGV(a, b) = |ab| / GGT(a, b) |
| GGT mit null | GGT(a, 0) = |a| |
| Bruch kürzen | Zähler und Nenner durch den GGT teilen |
Weiterführende Quellen
- Wolfram MathWorld – Greatest Common Divisor
- Wolfram MathWorld – Euclidean Algorithm
- Encyclopedia of Mathematics – Greatest Common Divisor
Fazit
Gemeinsame Teiler sind die Zahlen, die alle betrachteten Eingaben ohne Rest teilen. Der größte gemeinsame Teiler fasst diese Beziehung in einem einzigen Wert zusammen.
Bei kleinen Zahlen reichen Teilerlisten. Die Primfaktorzerlegung macht die mathematische Struktur sichtbar, während der Euklidische Algorithmus auch bei großen Zahlen schnell zum Ergebnis führt.
Der GGT ist nicht nur eine Schulaufgabe. Er hilft beim Kürzen von Brüchen, beim Bilden gleich großer Gruppen, beim Ausklammern algebraischer Terme und bei vielen praktischen Aufteilungen.
Häufige Fragen zum GGT-Rechner
Was sind gemeinsame Teiler?
Gemeinsame Teiler sind Zahlen, die alle betrachteten Zahlen ohne Rest teilen.
Wie findet man den GGT?
Der GGT lässt sich mit Teilerlisten, Primfaktorzerlegung oder dem Euklidischen Algorithmus bestimmen.
Was ist der GGT von 18 und 24?
Der GGT ist 6.
Was bedeutet teilerfremd?
Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr GGT 1 ist.
Kann man den GGT von drei Zahlen berechnen?
Ja. Der GGT wird schrittweise über alle Eingaben gebildet.
Wie hilft der GGT beim Kürzen?
Zähler und Nenner werden durch ihren GGT geteilt.
Wie werden negative Zahlen behandelt?
Üblicherweise werden ihre Beträge verwendet und der GGT nichtnegativ angegeben.
Was ist der Unterschied zwischen GGT und KGV?
Der GGT ist der größte gemeinsame Teiler, das KGV das kleinste gemeinsame Vielfache.
