Dreisatzrechner: Direkter und umgekehrter Dreisatz

Ein Dreisatzrechner bestimmt einen fehlenden Wert, wenn zwei Größenpaare derselben proportionalen Beziehung folgen. Er löst direkte und umgekehrte Zuordnungen, prüft eine bereits ausgefüllte Proportion und zeigt den verwendeten Rechenweg an.

Der Dreisatz eignet sich für Preisvergleiche, Rezepte, Prozentrechnungen, Maße, Arbeitszeiten und Fahrtdauern. Ein korrektes Ergebnis setzt jedoch voraus, dass die richtige Zuordnung gewählt, zusammengehörige Werte gleich angeordnet und einheitliche Einheiten verwendet werden.

Was der Dreisatzrechner berechnet

Der Rechner verwendet vier Positionen mit den Bezeichnungen A, B, C und D. Genau ein Wert kann als Unbekannte frei bleiben.

• direkten Dreisatz berechnen;
• umgekehrten Dreisatz berechnen;
• A, B, C oder D als gesuchten Wert bestimmen;
• eine vollständige Proportion kontrollieren;
• Formel und eingesetzte Zahlen anzeigen;
• Skalierungsfaktoren vergleichen;
• Bezeichnungen und Einheiten ergänzen;
• automatische oder feste Nachkommastellen verwenden;
• Zeilen und Spalten ohne erneute Eingabe vertauschen.

Intern wird mit dem vollständigen Zahlenwert gerechnet. Gerundet wird nur die Darstellung des Ergebnisses.

So verwenden Sie den Dreisatzrechner

1. Wählen Sie Direkte Proportion oder Umgekehrte Proportion.
2. Tragen Sie die drei bekannten Werte ein.
3. Lassen Sie das gesuchte Feld leer oder klicken Sie daneben auf X.
4. Ergänzen Sie bei Bedarf aussagekräftige Bezeichnungen und Einheiten.
5. Wählen Sie die gewünschte Genauigkeit.
6. Klicken Sie auf Berechnen.
7. Prüfen Sie neben dem Ergebnis auch Formel und Kontrollrechnung.

Sind alle vier Felder ausgefüllt, wechselt das Werkzeug automatisch in den Prüfmodus.

Die grundlegenden Dreisatzformeln

Eine Proportion beschreibt zwei gleichwertige Verhältnisse oder ein konstantes Produkt.

Direkter Dreisatz

Für eine direkte Zuordnung gilt:

A : B = C : D

Die Kreuzprobe lautet:

A × D = B × C

Ist D unbekannt:

D = (B × C) ÷ A

Die vier möglichen Umstellungen sind:

• A = (B × C) ÷ D
• B = (A × D) ÷ C
• C = (A × D) ÷ B
• D = (B × C) ÷ A

Umgekehrter Dreisatz

Bei einer umgekehrten Zuordnung bleibt das Produkt konstant:

A × B = C × D

Ist D unbekannt:

D = (A × B) ÷ C

Die Umstellungen lauten:

• A = (C × D) ÷ B
• B = (C × D) ÷ A
• C = (A × B) ÷ D
• D = (A × B) ÷ C

OpenStax beschreibt die direkte Variation als konstantes Verhältnis und die umgekehrte Variation als konstantes Produkt. Diese mathematische Prüfung ist zuverlässiger als eine Entscheidung allein nach der Größe der Zahlen.

Direkter Dreisatz verständlich erklärt

Beim direkten Dreisatz verändern sich beide Größen bei gleichbleibender Rate in dieselbe Richtung. Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere.

Typische Anwendungen sind:

• Warenmenge und Gesamtpreis bei festem Stückpreis;
• Personenzahl und Zutatenmenge;
• Arbeitszeit und Lohn bei festem Stundenlohn;
• Strecke und Fahrzeit bei konstanter Geschwindigkeit;
• Materialmenge und bearbeitete Fläche unter gleichen Bedingungen.

Die Gegenprüfung über den Einheitspreis ergibt ebenfalls 14,40 € ÷ 6 = 2,40 € pro Kilogramm und anschließend 9 × 2,40 € = 21,60 €.

Umgekehrter Dreisatz verständlich erklärt

Beim umgekehrten Dreisatz steigt eine Größe, während die andere sinkt. Das Produkt der zusammengehörigen Werte bleibt konstant.

Typische Fälle sind:

• Arbeitskräfte und Dauer einer vollständig teilbaren Aufgabe;
• Geschwindigkeit und Fahrzeit bei fester Strecke;
• Maschinenzahl und Produktionszeit bei gleicher Leistung;
• Förderleistung und Füllzeit bei festem Volumen;
• Personenzahl und Anteil an einer festen Gesamtmenge.

Die Rechnung setzt voraus, dass die Arbeit ohne zusätzlichen Abstimmungsaufwand verteilt werden kann. In realen Projekten ist diese Annahme nicht immer erfüllt.

Direkte und umgekehrte Zuordnung erkennen

Fragen Sie: Was geschieht mit der zweiten Größe, wenn die erste größer wird?

• Steigen oder sinken beide Größen bei konstanter Rate gemeinsam, prüfen Sie eine direkte Zuordnung.
• Steigt eine Größe, während die andere sinkt und das Produkt gleich bleibt, prüfen Sie eine umgekehrte Zuordnung.
• Trifft keine Bedingung zu, ist der Dreisatz wahrscheinlich nicht das passende Modell.

Als Kontrolle können Sie berechnen:

• direkt: B ÷ A und D ÷ C vergleichen;
• umgekehrt: A × B und C × D vergleichen.

Ein kleineres Ergebnis bedeutet nicht automatisch eine umgekehrte Proportion.

Preisbeispiel Schritt für Schritt

5 Liter Farbe kosten 42,50 €. Wie viel kosten 8 Liter bei unverändertem Literpreis?

• A = 5 Liter;
• B = 42,50 €;
• C = 8 Liter;
• D = gesucht.

Es handelt sich um eine direkte Zuordnung:

D = (42,50 × 8) ÷ 5 = 68,00 €

Der Literpreis beträgt 8,50 €. Das Ergebnis gilt nicht unverändert, wenn ein Eimerpfand, Versandkosten oder ein Mengenrabatt hinzukommen.

Rezeptbeispiel

Ein Rezept für vier Personen benötigt 300 Gramm Mehl. Für zehn Personen:

D = (300 × 10) ÷ 4 = 750 Gramm

Die Mehlmenge lässt sich proportional anpassen. Garzeit, Gewürze und Größe des Koch- oder Backgefäßes müssen nicht exakt mit demselben Faktor verändert werden.

Geschwindigkeit und Fahrzeit

Eine feste Strecke wird bei 80 km/h in 3 Stunden zurückgelegt. Bei 100 km/h:

D = (80 × 3) ÷ 100 = 2,4 Stunden

2,4 Stunden entsprechen 2 Stunden und 24 Minuten. Die Schätzung setzt eine konstante Durchschnittsgeschwindigkeit voraus und berücksichtigt weder Pausen noch Verkehr.

Prozentrechnung mit dem Dreisatz

Prozentaufgaben lassen sich als direkte Zuordnung mit dem Grundwert 100 darstellen.

Um zu bestimmen, wie viel Prozent 45,6 von 240 sind:

240 : 100 = 45,6 : D

D = (100 × 45,6) ÷ 240 = 19 %

Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz müssen den richtigen Positionen zugeordnet bleiben.

Bezeichnungen, Einheiten und Dezimalzahlen

Bezeichnungen machen die Rechnung nachvollziehbarer. Bei einer Preisaufgabe kann die linke Spalte „Gewicht“ mit „kg“ und die rechte Spalte „Preis“ mit „€“ bezeichnet werden.

Zusammengehörige Werte müssen dieselbe Einheit verwenden. 2 kg sind vor dem Vergleich mit 5.000 g entweder in 2.000 g umzuwandeln oder beide Werte sind in Kilogramm anzugeben.

Die deutsche Version akzeptiert Dezimalzahlen im lokalen Format, beispielsweise 2,5 oder 42,50. Die gewählte Zahl der Nachkommastellen betrifft nur die Ausgabe.

So funktioniert die Proportionsprüfung

Bei vier ausgefüllten Feldern kontrolliert der Rechner die ausgewählte Beziehung.

Direkter Dreisatz:

A × D muss B × C entsprechen.

Umgekehrter Dreisatz:

A × B muss C × D entsprechen.

Wo es möglich ist, wird zusätzlich ein erwarteter Wert berechnet. Kleine Differenzen können durch zuvor gerundete Eingaben entstehen.

Null, negative Zahlen und Zahlenbereich

Null kann in einigen proportionalen Beziehungen vorkommen, darf aber nicht der benötigte Divisor sein. Eine Division durch null ist nicht definiert.

Negative Werte sind mathematisch möglich, müssen aber sachlich sinnvoll sein. Eine negative Temperaturänderung kann sinnvoll sein; eine negative Warenmenge oder Arbeitsdauer ist es normalerweise nicht.

Extrem große oder kleine Zahlen können die übliche Browsergenauigkeit überschreiten. Für spezielle wissenschaftliche Aufgaben kann Software mit beliebiger Zahlengenauigkeit erforderlich sein.

Wann der Dreisatz nicht geeignet ist

• Taxipreise mit Grundgebühr;
• Versand mit Festbetrag und Gewichtspreis;
• Mengenrabatte und Staffelpreise;
• progressive Steuern;
• Zinseszins;
• unterschiedlich produktive Arbeitskräfte;
• nicht teilbare oder aufeinanderfolgende Arbeitsschritte;
• Beschleunigung und wechselnde Geschwindigkeit;
• technische Kapazitätsgrenzen;
• Rezeptbestandteile, deren Zeit- oder Wärmebedarf nicht proportional steigt.

Trennen Sie in solchen Fällen feste und variable Bestandteile oder verwenden Sie ein Modell, das die tatsächliche Beziehung abbildet.

Zuverlässiger Arbeitsablauf

1. Benennen Sie die beiden Größen.
2. Vereinheitlichen Sie die Einheiten.
3. Bestimmen Sie direkte, umgekehrte oder fehlende Proportionalität.
4. Ordnen Sie gleiche Größen in derselben Spalte an.
5. Tragen Sie drei Werte ein und lassen Sie einen frei.
6. Kontrollieren Sie die angezeigte Formel.
7. Prüfen Sie das Ergebnis über Einheitspreis, Verhältnis oder Produkt.
8. Berücksichtigen Sie Gebühren, Schwellenwerte und praktische Grenzen.
9. Runden Sie erst am Ende.
10. Nennen Sie die Annahmen, wenn das Ergebnis zur Planung verwendet wird.

Häufige Fehler

• eine umgekehrte Zuordnung nur wegen eines kleineren Ergebnisses wählen;
• zusammengehörige Größen in unterschiedlichen Spalten anordnen;
• Kilogramm und Gramm ohne Umrechnung mischen;
• Grundgebühren wie einen konstanten Preis behandeln;
• annehmen, doppelt so viele Arbeitskräfte halbierten immer die Zeit;
• Zwischenergebnisse zu früh runden;
• mehr als ein Feld leer lassen;
• eine mathematische Schätzung als garantierte reale Dauer darstellen.

Häufig gestellte Fragen

Mathematische und technische Quellen

• OpenStax College Algebra 2e: Modeling Using Variation
• OpenStax College Algebra 2e: Key Concepts for Direct and Inverse Variation
• Math Is Fun: Proportions
• Math Is Fun: Directly and Inversely Proportional
• Khan Academy: Direct and Inverse Proportion
• Schema.org: FAQPage

Quellen geprüft am 23. Juni 2026.