Dreieck berechnen

Ein Dreiecksrechner bestimmt aus bekannten Seiten und Winkeln weitere Größen eines Dreiecks. Je nach Eingabefall lassen sich Seitenlängen, Innenwinkel, Fläche, Umfang, Höhen, Inkreisradius und Umkreisradius berechnen.

Der Rechenweg hängt davon ab, welche Werte vorliegen. Drei Seiten werden anders verarbeitet als zwei Seiten und ein Winkel. Bei rechtwinkligen Dreiecken hilft der Satz des Pythagoras, bei allgemeinen Dreiecken sind Sinussatz, Kosinussatz und Heron-Formel entscheidend.

Bezeichnungen im Dreieck

Die Seiten werden üblicherweise mit a, b und c bezeichnet. Ihnen gegenüber liegen die Winkel α, β und γ:

• Seite a liegt gegenüber von α;
• Seite b liegt gegenüber von β;
• Seite c liegt gegenüber von γ.

Diese Zuordnung ist besonders wichtig beim Sinussatz und Kosinussatz. Werden Seite und Gegenwinkel verwechselt, entsteht ein falsches Ergebnis.

Weitere typische Größen sind:

• Umfang U;
• Flächeninhalt A;
• Höhen h_a, h_b und h_c;
• halber Umfang s;
• Inkreisradius r;
• Umkreisradius R.

Winkelsumme im Dreieck

In jedem ebenen Dreieck gilt:

α + β + γ = 180°

Sind zwei Winkel bekannt, ergibt sich der dritte durch Subtraktion.

Beispiel

α = 50°

β = 65°

γ = 180° − 50° − 65° = 65°

Da β und γ gleich groß sind, sind auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Das Dreieck ist gleichschenklig.

Umfang berechnen

Der Umfang ist die Summe der drei Seiten:

U = a + b + c

Für a = 5 cm, b = 7 cm und c = 8 cm:

U = 5 + 7 + 8 = 20 cm

Der Umfang besitzt dieselbe Längeneinheit wie die Seiten.

Fläche aus Grundseite und Höhe

Ist eine Seite mit der zugehörigen Höhe bekannt, gilt:

A = a × h_a / 2

Beispiel:

a = 10 cm

h_a = 6 cm

A = 10 × 6 / 2 = 30 cm²

Die Fläche wird in einer quadratischen Einheit angegeben.

Höhe aus Fläche und Seite

Die Flächenformel lässt sich umstellen:

h_a = 2A / a

Bei A = 42 m² und a = 12 m:

h_a = 84 / 12 = 7 m

Dreieck aus drei Seiten: SSS

Sind alle drei Seiten bekannt, spricht man vom SSS-Fall. Zuerst wird geprüft, ob überhaupt ein gültiges Dreieck existiert. Danach können die Winkel mit dem Kosinussatz und die Fläche mit der Heron-Formel berechnet werden.

Dreiecksungleichung prüfen

Für ein gültiges Dreieck muss die Summe zweier Seiten jeweils größer als die dritte Seite sein:

a + b > c

a + c > b

b + c > a

Die Seiten 3, 4 und 5 erfüllen alle Bedingungen. Bei 2, 3 und 6 gilt dagegen 2 + 3 = 5 und damit nicht größer als 6. Ein solches Dreieck ist nicht möglich.

Heron-Formel

Sind nur die drei Seiten bekannt, kann die Fläche ohne Höhe berechnet werden.

Zuerst:

s = (a + b + c) / 2

Danach:

A = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c))

Beispiel mit 5 cm, 6 cm und 7 cm

s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9

A = √(9 × 4 × 3 × 2)

A = √216 ≈ 14,70 cm²

Kosinussatz

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras:

c² = a² + b² − 2ab × cos(γ)

Entsprechend gelten:

a² = b² + c² − 2bc × cos(α)

b² = a² + c² − 2ac × cos(β)

Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel: SWS

Gegeben:

a = 8 cm

b = 11 cm

γ = 60°

c² = 8² + 11² − 2 × 8 × 11 × cos(60°)

c² = 64 + 121 − 88 = 97

c = √97 ≈ 9,85 cm

Anschließend lassen sich die übrigen Winkel mit Sinus- oder Kosinussatz bestimmen.

Winkel aus drei Seiten berechnen

Der Kosinussatz wird nach dem Winkel umgestellt:

γ = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

Der Taschenrechner muss dabei auf Gradmaß eingestellt sein, wenn das Ergebnis in Grad ausgegeben werden soll.

Sinussatz

Der Sinussatz verbindet Seiten und gegenüberliegende Winkel:

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Er ist besonders hilfreich, wenn ein Paar aus Seite und Gegenwinkel bekannt ist.

Eine Seite und zwei Winkel: WSW oder WWS

Gegeben:

a = 10 cm

α = 50°

β = 70°

Zuerst:

γ = 180° − 50° − 70° = 60°

Dann:

b = 10 × sin(70°) / sin(50°)

b ≈ 12,27 cm

Für c gilt entsprechend:

c = 10 × sin(60°) / sin(50°)

c ≈ 11,31 cm

Der mehrdeutige SSW-Fall

Sind zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben, kann es kein, genau ein oder zwei verschiedene Dreiecke geben.

Beispielsweise kann ein berechneter Sinuswert zu zwei Winkeln führen:

β und 180° − β

Beide Möglichkeiten müssen geprüft werden. Ein zuverlässiger Dreiecksrechner zeigt bei diesem Fall alle gültigen Lösungen und verwirft Kombinationen, deren Winkelsumme 180° überschreitet.

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von 90°. Die gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse.

a² + b² = c²

Für a = 6 cm und b = 8 cm:

c = √(36 + 64) = 10 cm

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite.

Winkel im rechtwinkligen Dreieck

Zusätzlich gelten:

sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse

cos(α) = Ankathete / Hypotenuse

tan(α) = Gegenkathete / Ankathete

Bei den Seiten 6, 8 und 10:

sin(α) = 6 / 10 = 0,6

α ≈ 36,87°

Der zweite spitze Winkel beträgt 53,13°.

Gleichseitiges Dreieck

Alle Seiten sind gleich lang, alle Winkel betragen 60°.

U = 3a

h = a × √3 / 2

A = a² × √3 / 4

Für a = 8 cm:

• U = 24 cm;
• h ≈ 6,93 cm;
• A ≈ 27,71 cm².

Gleichschenkliges Dreieck

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Die Höhe zur Basis halbiert die Basis und erzeugt zwei rechtwinklige Dreiecke.

Mit Schenkellänge s und Basis b:

h = √(s² − (b / 2)²)

A = b × h / 2

Für s = 10 cm und b = 12 cm:

h = √(100 − 36) = 8 cm

A = 12 × 8 / 2 = 48 cm²

Dreiecksarten nach Seiten

Dreiecksarten nach Winkeln

Fläche aus zwei Seiten und Winkel

Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, gilt:

A = a × b × sin(γ) / 2

Für a = 9 cm, b = 12 cm und γ = 40°:

A = 9 × 12 × sin(40°) / 2

A ≈ 34,71 cm²

Höhen berechnen

Ist die Fläche bekannt, lassen sich alle Höhen bestimmen:

h_a = 2A / a

h_b = 2A / b

h_c = 2A / c

Je länger die zugehörige Seite ist, desto kleiner ist bei gleicher Fläche die entsprechende Höhe.

Inkreisradius

Der Inkreis berührt alle drei Seiten. Sein Radius ergibt sich aus Fläche und halbem Umfang:

r = A / s

Bei A = 30 cm² und s = 12 cm:

r = 30 / 12 = 2,5 cm

Umkreisradius

Der Umkreis verläuft durch alle drei Eckpunkte.

R = a × b × c / (4A)

Die Formel setzt voraus, dass alle Seiten und die Fläche bekannt sind.

Dreieck im Koordinatensystem

Zwischen zwei Punkten gilt die Distanzformel:

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Für die Fläche aus drei Punkten A, B und C:

A = 1/2 × |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|

Diese Methode ist in analytischer Geometrie, Vermessung und Computergrafik nützlich.

Welche Angaben bestimmen ein Dreieck?

Drei Winkel reichen nicht für die Größe

Mit α, β und γ ist nur die Form bestimmt. Ein Dreieck mit Seiten 3, 4 und 5 kann dieselben Winkel besitzen wie ein Dreieck mit 6, 8 und 10.

Solche Dreiecke sind ähnlich. Für die absolute Größe muss mindestens eine Seitenlänge bekannt sein.

Praktisches Beispiel: Satteldach

Ein symmetrisches Satteldach lässt sich in zwei rechtwinklige Dreiecke teilen.

Gebäudebreite: 10 m

Dachhöhe: 3 m

Halbe Grundseite: 5 m

Sparrenlänge:

c = √(5² + 3²)

c ≈ 5,83 m

Für die praktische Planung müssen Dachüberstand, Materialstärke und konstruktive Vorgaben zusätzlich berücksichtigt werden.

Praktisches Beispiel: Grundstücksfläche

Ein dreieckiges Grundstück besitzt die Seiten 30 m, 40 m und 50 m. Da 30² + 40² = 50² gilt, ist das Dreieck rechtwinklig.

Fläche:

A = 30 × 40 / 2

A = 600 m²

Plausibilitätsprüfung

Ein Rechner sollte mehrere Bedingungen kontrollieren:

• alle Seiten sind größer als null;
• alle Winkel liegen zwischen 0° und 180°;
• Winkelsumme beträgt 180°;
• Dreiecksungleichung ist erfüllt;
• im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse am längsten;
• bei SSW werden alle möglichen Lösungen geprüft.

Typische Fehler

• Seite und Gegenwinkel werden verwechselt.
• Grad- und Bogenmaß werden vertauscht.
• Die Dreiecksungleichung wird nicht geprüft.
• Beim Kosinussatz wird der falsche Winkel eingesetzt.
• Beim SSW-Fall wird eine zweite Lösung übersehen.
• Flächen werden in einer Längeneinheit ausgegeben.
• Zwischenergebnisse werden zu früh gerundet.

Richtig runden

Seiten und Winkel sollten intern mit hoher Genauigkeit berechnet werden. Erst am Ende wird gerundet.

Für Schulaufgaben reichen oft zwei Nachkommastellen. In Bauwesen oder Technik muss die Genauigkeit zu den Eingabewerten und zum Messverfahren passen.

Was ein guter Dreiecksrechner anzeigen sollte

• passenden Eingabefall;
• Seiten, Winkel, Fläche und Umfang;
• Höhen, Inkreisradius und Umkreisradius;
• Prüfung der Dreiecksungleichung;
• Erkennung mehrdeutiger SSW-Fälle;
• klaren Rechenweg;
• Einheiten und sinnvolle Rundung.

Formeln im Überblick

Weiterführende Quellen

• Deutsche Mathematiker-Vereinigung
• Wolfram MathWorld – Triangle
• GeoGebra – interaktive Geometrie

Fazit

Ein Dreiecksrechner bestimmt aus geeigneten Angaben Seiten, Winkel, Fläche, Umfang und weitere geometrische Größen. Welcher Rechenweg nötig ist, hängt vom Eingabefall ab.

Bei drei Seiten kommen Kosinussatz und Heron-Formel zum Einsatz. Bei zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel wird der Kosinussatz verwendet. Eine Seite und zwei Winkel werden mit Winkelsumme und Sinussatz verarbeitet. Rechtwinklige Dreiecke lassen sich zusätzlich mit Pythagoras und Trigonometrie lösen.

Häufige Fragen zum Dreiecksrechner

Was berechnet ein Dreiecksrechner?

Seiten, Winkel, Fläche, Umfang, Höhen und weitere Größen.

Wie berechnet man die Fläche?

Mit A = Grundseite × Höhe / 2.

Wie groß ist die Winkelsumme?

180 Grad.

Wie berechnet man ein Dreieck aus drei Seiten?

Mit Kosinussatz und Heron-Formel.

Wann verwendet man den Sinussatz?

Wenn mindestens ein Paar aus Seite und Gegenwinkel bekannt ist.

Wann verwendet man den Kosinussatz?

Bei drei Seiten oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel.

Kann es zwei Lösungen geben?

Ja, beim SSW-Fall können zwei gültige Dreiecke entstehen.

Reichen drei Winkel aus?

Nein. Sie bestimmen nur die Form, nicht die absolute Größe.